У себя дома мы привыкли есть арбуз, предварительно разрезав его на дольки.

В обществе на людях такой способ употребления арбуза не годится. На приемах арбузы подают либо уже в виде мелко нарезанных кусков без косточек, либо на тарелке с ножом и вилкой, с помощью которых вы освободите мякоть арбуза от косточек и нарежете его на небольшие кусочки.
С дыней обращаются примерно так же, а если она подана на стол разрезанной пополам и с какой-нибудь начинкой, то тогда следует пользоваться ложкой.